¿Como funciona la estrella de la muerte?

Para poder entender la física que hay detrás de la estrella de la muerte primero habrá que ponernos en contexto. Es una de las escenas más icónicas del cine de ciencia-ficción. El malvado imperio galáctico toma a la princesa Leia y la lleva a su planeta natal Alderaan (No muy diferente de la tierra). La amenazan con destruirlo a menos que les de la localización de la base rebelde. Ella miente y da una localización falsa. Aun así prueban su arma más poderosa, esto es lo que pasa a continuación.

Quiero que pienses lo que acaba de pasar: Una estación espacial del tamaño de la luna acaba de disparar algo así como un “super-rayo láser” y ha volatilizado todo un planeta. Pero no solo lo destruye sino que lo hace en un abrir y cerrar de ojos.

Los científicos del imperio debían de ser muy listos. Porque seguramente se necesitara una gran cantidad de energía para hacer tal cosa. Vamos a calcularla: ¿Cuánta energía es necesaria para destruir un planeta y que todos sus restos salgan despedidos hasta el infinito? Hacer el cálculo con un kilogramo es relativamente simple. Pero el problema con arrancar un trozo del planeta es que el siguiente trozo necesita una cantidad menor de energía porque el planeta tiene menos masa.

Si queremos hacer las matemáticas con un planeta lo que debemos hacer es dividirlo en capas y asumir que tiene una densidad constante. Entonces la masa del planeta expresada en función de su radio y densidad es:

(La letra griega rho es la densidad del planeta)

Y la masa para cada capa es:

(h es la altura de cada capa, así la superficie de la esfera por la altura es el volumen de la capa.)

Y entonces si acudimos a la ley de la gravitación universal de I.Newton y derivamos el término de energía potencial:

Sustituimos y ya sabemos que la energía potencial con la que están unida cada capa es:

Ahora el problema es que tenemos que hacer esas capas infinitamente pequeñas para poder acercarnos los máximo posible al resultado real. Para eso nació I.Newton para inventar el cálculo infinitesimal. Así que al hacer la integral h se comporta es el diferencial de R y desaparece, simplificamos antes de integrar y nos queda:

Integramos:

Pero sabemos que la densidad no es más que la masa por unidad de volumen. Entonces:

Combinamos ambas ecuaciones y obtenemos esta función:

Simplificamos una última vez. Y ya tenemos la función que nos revela energía necesaria para destruir un planeta.

Sustituimos y conseguimos el resultado. La masa de la tierra es de alrededor de 5,97×1024 Kg y su radio es de unos 6367.44 Km. Al hacer las cuentas descubrimos que la energía necesaria para destruir la tierra es de 2,24×1032 julios: 224.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 julios Para ponerlo en perspectiva el sol “tan solo” tiene una potencia de 3.8 × 10^26 vatios. Es decir, se necesitaría toda la energía producida en una semana por parte del Sol y poder utilizarla en pocos segundos. El imperio no se anda con chiquitas.

¿Pero como dan un “golpe” tan fuerte al planeta? En la película parece que se trata de un haz de luz (O rayo láser) lo que utilizan. Ese haz de luz tiene 2,24×1032 julios de energía devastadora. Para conseguir esa energía se necesita una frecuencia muy alta. Para calcularla necesitamos recurrir a M.Planck y su ecuación:

(Importante h ya no es la altura de la capa, sino, la constante de planck)

Esta ecuación nos muestra que la frecuencia de ese rayo láser es de: 3.381×1065 hercios. Una frecuencia muy alta. Esto tiene un problema, como la luz tiene momento lineal la estrella de la muerte debería haber salido despedida en la dirección contraria. 

Combinamos ambas ecuaciones:

Combinamos ambas ecuaciones: Y entonces sabemos que la velocidad con la que saldría despedida una estación espacial de la masa de la luna es: 10.17 m/s que son aproximadamente 35 km/h. No parece mucho pero teniendo en cuenta el poco tiempo que tarda en disparar la aceleración debería haberse notado. Y en la película ni se inmutan.

Este es un mecanismo para destruir el planeta, pero yo no habría optado por un “rayo láser”, yo habría hecho algo más práctico y menos sofisticado. Habría utilizado un trozo de anti-materia. ¿Por qué? La anti materia se aniquila con la materia a partes iguales entonces mi estrella de la muerte tan solo tendría que producir la mitad de energía y convertirla en anti materia. Para saber cuánta masa necesitamos tenemos que recurrir a una de las ecuaciones más famosas de la historia de física: la ecuación de la teoría de la relatividad especial de A. Einstein.

Sencilla y útil, si resolvemos la ecuación calculamos que necesitamos una masa de 2.492×1015 Kg pero solo necesitaremos la mitad porque la otra mitad de la masa es materia que se encuentra en el planeta. Entonces nuestra carga debe ser de 1.246×1015 Kg de antimateria.de anti materia. Al compararlo con el tamaño del planeta vemos que es el 2.086× 10-10% la masa del planeta.

Así es como yo haría mi estrella de la muerte no es tan sofisticada como la de Darth Vader. Pero hace bien su trabajo.

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