¿Que pasaría si la luna se convirtiera en un agujero negro?

Se ha escrito mucho sobre agujeros negros, en películas, novelas artículos científicos. Son realmente fascinantes, son una región del espacio de la que no se puede saber nada y nadie sabe exactamente que ocurre una vez que se pasa la frontera que existe entre las dos regiones del espacio. Albert Einstein predijo su existencia pero creía que la naturaleza debería tener algún mecanismo para que no pudieran ocurrir semejantes “monstruosidades” y Stephen Hawking creo una paradoja al mezclarlos con la mecánica cuántica.

Pero hoy no vamos a meternos en esos temas, hoy vamos a hacer algo no tan complicado. Vamos a intentar responder a la pregunta ¿Que pasaría si la luna se convirtiera en un agujero negro del mismo tamaño que ella? Es importante recalcar lo del mismo tamaño porque un agujero negro de la misma masa seria muy pequeño en radio, pero tendría el mismo efecto gravitacional que la luna actual, así que seria un poco aburrido. Por eso vamos a usar del mismo tamaño.

Lo primero sera calcular la masa de ese cuerpo para eso tenemos que ver la relación que guardan el horizonte de sucesos (superficie del agujero negro) y su masa. Por eso vamos a ver que velocidad se necesita para escapar de un campo gravitacional. (Velocidad de escape)

Como bien sabemos la energía mecánica es la suma del potencial gravitacional y la energía cinética.Esta es la representación del potencial gravitacional y su formula, si conseguimos que la suma sea zero podremos escapar hasta el infinito

.

 

Por eso podemos escribir: 

Si simplificamos llegaremos a esto: 

Esta es la función de la velocidad de escape que depende de la masa del cuerpo y de la distancia del centro. Pero en los agujeros negros lo que ocurre es que la velocidad de escape equivale a la velocidad de la luz por esto último podemos escribir: 

Volvemos a simplificar y llegamos a esto: la función que el radio de un agujero negro y su masa. Aquí metemos el valor del radio de la luna:

Y obtenemos una masa de: 1,17 x 1033Kg, para poner en perspectiva tendría la masa de 588 soles como el nuestro. Y todo ello comprimido en el volumen de la luna. Ahora pasaría algo muy interesante, antes era la luna la que orbitaba alrededor de la tierra de esta forma.

(Nota: la tierra órbita sobre el centro de masa del sistema y la luna también)

Pero ahora es la tierra la que orbita al agujero negro. Asumamos que con la transformación de la luna en un agujero negro también ha habido un cambio en la velocidad de la tierra. (Sino la tierra se precipitaría contra el agujero negro y se acabaría el problema y no queremos eso.) Ahora tendremos que calcular esa nueva velocidad. Eso es relativamente simple, digamos que la tierra va a seguir una órbita circular alrededor del agujero negro. Como la órbita es circular sabemos que la fuerza normal a la que esta sometida la tierra es:  

Pero esa fuerza tiene que ser la de la gravedad. ¿Sino que otra fuerza puede ser? Entonces podemos escribir: 

Un poquito de álgebra por aquí:

Y ahora sustituimos los valores para la masa de nuestro agujero negro y la distancia desde la luna a la tierra para sacar que la velocidad equivale: 1,404 x 107 metros por segundos. Casi un 5% la velocidad de la luz!!!

Ahora que ya hemos establecido un sistema medianamente estable habrá que ver que ocurre en la tierra. Lo primero habrá que descubrir si la tierra es capaz de aguantar las fuerzas de marea. Estas fuerzas son la diferencia que hay entre la fuerza gravitatoria en un punto de un cuerpo y del otro que le obligan a deformarse, también son las fuerzas que crean las mareas (no podía ser de otra manera).

Para descubrir si aguantara vamos a derivar la funcion del limite Roche:

Podemos expresar la fuerza gravitatoria que sufre una partícula(U) en la superficie de la tierra con la ecuación de Newton (que ha salido anteriormente) y podemos también escribir la fuerza de marea que ejerce el 2 cuerpo(amarillo) sobre nuestra partícula. El limite de Roche ocurre cuando ambas fuerzas se igualan, entonces podemos escribir: 

Otro poco de álgebra y: 

Con esto nos valdría pero habitualmente se escribe el limite de Roche en función del Radio del planeta central, para esto se escriben las masas en función de su densidad por el volumen:

Sustituimos y simplificamos:

 (Esta es la función del limite Roche)

Esta ecuación nos permite saber básicamente a cuanta distancia puede estar un satélite de otro cuerpo sin destruirse por esa diferencia de fuerzas. Ahora introducimos los valores en wolfram alpha: 

Y nos muestra que el limite de Roche para la tierra y el agujero negro se sitúa a: 4,662 x 106 kilometros al compararlo con la distancia de la tierra a la luna(1737Km) observamos que la tierra esta dentro del limite de Roche así que la tierra se destruirá por la fuerza del agujero negro en pocos segundos.

Ahora solo falta por abordar las cuestiones relativistas, acabo de escribir que en pocos segundos la tierra se destruiría, pero que significan pocos segundos. La relatividad explica que un observador en un campo gravitatorio observara pasar el tiempo mas lento que uno que no. Como en este caso el campo gravitatorio es muy fuerte esa dilatación temporal también lo sera. Para calcular esto se pueden resolver las ecuaciones de Einstein pero es muy complicado y tedioso. Así que para hacer el calculo podremos utilizar una aproximación derivada de la métrica de Schwarzschild (o como se escriba!!): la métrica de este señor (que me da pereza escribir su nombre otra vez) se deriva de la ecuación que hemos escrito anteriormente: 

Solo que ahora se escribe el radio en función de la masa 

Ahora cogemos la ecuación de la métrica de Schwarzschild para la dilatación temporal y sustituimos:

(tr= al tiempo por el observador, t= tiempo real y r es la distancia)

Ahora sustituimos los valores y obtenemos que por cada segundo que pase en los observadores de la tierra verán pasar 0.9978 segundos. Parece poca diferencia pero es muy difícil de conseguir tanta dilatación temporal.

Esto es todo lo que se me ocurre que podía ser interesante calcular si la luna se convirtiera en un agujero negro. Si me he dejado algo puedes comentarlo y si resulta de interés y me apetece igual lo calculo.

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