¿Que pasaría en un túnel que atravesara la tierra?

¿Se podría hacer un túnel a través del centro de la tierra para viajar rápido a través de ella? prácticamente no, pero teóricamente no nos cuesta nada. (Es tan solo un problema de ingenieros) En cambio desde el punto de vista de la física es muy sencillo. La pregunta que hay que responder es cuanto se tardaría en atravesar el túnel.

Para hacer esto no podemos usar una aproximación que es un túnel que no pasa por el centro pero sería paralelo a uno como tal.

(He mejorado con el paint)

Aquí la única fuerza que genera trabajo es la fuerza en rojo que voy a llamar  (por aquello de ser original). Ahora vamos a ver cuanto vale esa fuerza que no es más que la componente horizontal de la fuerza de la gravedad.

(X es la distancia a la que se esta del centro del túnel)

Pero sinos fijamos la masa del planeta (tierra) solo afecta a si esta por debajo de una esfera de radio igual a R. La demostración de esto es un poco más complicado e incluye matemáticas más avanzadas. Pero dentro de unos días dejare un link por aquí a una demostración que escribiré que se puede utilizar no solo con la gravedad pero con todo lo que se requiera.

¿Por donde íbamos? Estaba explicando que M en realidad esta en función de R. Para esto tendremos que asumir que la tierra tiene una densidad homogénea. De tal forma podemos escribir M en función de R de esta forma:

(La letra griega rho significa densidad)

Entonces la ecuación resultante es: 

Podemos decir que todo lo anterior a la x es constante.

Entonces la formula resultante es muy familiar:

(Es negativa porque al tratarse de vectores la fuerza tiene el sentido contrario al vector de posición x)

Esta formula se asimila a la ley de Hooke (De por aquí viene el conflicto que tuvieron Robert Hooke Y Isaac Newton acerca de quien era el padre de la ley de la gravitación). Es decir, a un muelle. Y sabemos que los muelles se comportan como osciladores armónicos. Entonces el periodo de este “oscilador armónico” (que es la masa que se mueve por el túnel) tiene que ser igual al periodo de un oscilador armónico de toda la vida. Entonces: 

Introducimos los datos en Wolfram Alpha:Y tenemos como resultado: que un periodo de nuestro oscilador armónico es de: 5060 segundos o 1 hora 24 minutos y 20 segundos. Esto es lo que tardaría en hacer una ida y vuelta entonces dividimos entre 2 y el resultado final es: 2530 segundos o 42 minutos y 10 segundos.

Pero fijémonos bien en la formula.
Podemos observar que el periodo no depende de nada más que la densidad del planeta, tampoco depende de donde se posicione el túnel. Por eso podemos concluir que cualquier túnel que sea paralelo al diámetro de la tierra se puede recorrer en ese tiempo y siempre en ese tiempo. Esto ultimo también es valido para el diámetro de la tierra que es un túnel que atraviesa la tierra por el centro (Justo por el que nos preguntábamos).

Y igual pasa con el resto de planetas si hubiera un planeta mil veces más grande que la tierra pero con la misma densidad también se tardaría en 42 minutos y 10 segundos en recorrer un túnel.

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