¿1=0.999999999999999…? (El problema del número anterior)

Muchos si les preguntas cual es el numero anterior a otro te responderán fácilmente con el numero entero anterior. Pero otros casi con más razón intentaran dar un numero decimal. Y aunque parezca lógica la existencia de un numero anterior en matemáticas tal cosa no existe. Si te preguntan cual es el numero anterior a uno y respondes 0,999999… podría ser correcto pero el error esta en que 0,999… no es el numero anterior a uno sino que son lo mismo. Eso voy a intentar demostrar hoy.

La primera es pensar en los números como puntos infinitamente pequeños en una recta. (Esto puede dar dolor de cabeza a algunas personas) Entonces el punto 1 esta infinitamente junto a 0,999999… Cuando algo esta infinitamente junto en matemáticas son prácticamente lo mismo. Al contrario con otros números. Entre dos números diferentes siempre se puede encontrar un tercer número. Pero en este caso no, por eso la única solución tiene que ser que hemos elegido el mismo número. Sería como elegir 2 y 2 no hay un tercer número entre ellos porque son el mismo y igual pasa con 1 y 0,999…

(Representación de 1 y 0.9999… Son indistinguibles.)

Esto puede no convencer a la mayoría. Porque se pueden creer que mi representación gráfica tiene poco zoom y que si nos acercamos lo suficiente veremos como hay un “hueco” infinitamente grande entre 1 y 0.9999… (aunque es mentira seguirían infinitamente juntos). Aun así me he guardado la mejor demostración para el final.

Podemos escribir 0.999… como una suma (mejor llamada serie):

Los matemáticos para abreviar utilizan el símbolo sumatorio:

Para poder observar su convergencia va a ver que desplazar los valores de r para que empiece desde el 0. Para esto habrá que sustituir r por (r+1).

Esto es una serie convergente, lo que esto significa es que si pudiéramos sumar todos los valores estos darían un numero concreto. Para calcularlo la mejor forma es hacer un poco de álgebra. Para eso tenemos escribir que 0.999… es igual a el numero en el que converge la serie.

Ahora vamos a multiplicarlo todo por diez y simplificamos:

Quitamos los sumatorios para el siguiente paso:

Entonces acabamos con estas 2 formulas/ecuaciones. Las podemos restar y obtenemos:

Simplificamos y: Y como habíamos escrito que N era igual a 0,999… entonces podemos concluir que 1=0,999… por esto los matemáticos dicen que no existe un numero anterior a otro porque 0,1 es igual a 0,09999… Y 3,25 es igual a 3,24999… esto pasa con cualquier numero que se te ocurra, no es un error lo que pasa es que en realidad hay dos formas de escribir el mismo numero.

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3 comentarios en “¿1=0.999999999999999…? (El problema del número anterior)

  1. Mi duda es la siguiente: Si el número que está justo anterior del 1 es tambien 1, cuántos 1 deben existir uno al lado del otro para que deje de ser 1 ???

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    1. Perdón, he cometido un error al expresarme. Cada vez que decía que 0,999… es el número anterior a uno estaba mal. En realidad el concepto de número anterior a otro no existe en matemáticas (o no se puede concretar ese número). Lo que pasa es que ese número que habitualmente llamamos uno (representante de unidad) se puede expresar de varias formas como 1 o 0,99… En este post lo que intentaba demostrar era que representan exactamente lo mismo. Y así demostrar que 0,99… no es el número anterior a 1 sino que son el mismo. Lo corregiré dentro de unos días.
      Supongo que es o aclarará tu duda.

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