Ley de Gauss

Aviso que esto no es tan sencillo como el resto de entradas. Es matemáticamente más complejo y más abstracto. La ley de Gauss nos relaciona el flujo de un campo vectorial (ahora lo intentare explicar) por una superficie cerrada con las divergencias (esto también lo explicaré) dentro del volumen delimitado por la superficie. Para explicar que es un campo vectorial imaginaros un río de profundidad uniforme. Donde el agua se mueve a diferentes velocidades. Pues bien, el conjunto de todas las medidas de velocidad es un campo vectorial. Porque campo es algo que varía dependiendo de donde lo midas. Hay campos escalares como la temperatura, campos vectoriales como la velocidad de un río o el campo gravitatorio. En un campo escalar al introducir las coordenadas del punto se consigue un valor. Pero en un campo vectorial se consiguen componentes del vector en ese punto. Ahora para entender que es una divergencia seguimos con nuestro río. Tenemos que crear unas áreas que cortan al río.gauss Ahora medimos la cantidad de agua que entra por A por tiempo (Esto es el flujo) es decir multiplicamos la velocidad por el área deseada. Si todo se mueve homogéneamente es muy sencillo. Pero si la velocidad no es igual en todos los puntos del área y el área no es un plano sino algo como curvado. Entonces no nos vale con esa simple multiplicación. Primero tendremos que dividir el área A en pequeñas secciones que llamare dA. Y luego habrá que hacer el producto escalar con la velocidad en cada región. Pero la velocidad en cada punto es nuestro campo vectorial. Veamos lo con este ejemplo, ahora volvemos con nuestro río.Por eso el resultado es la suma del resultado para cada una de esas regiones: Pero si queremos ser exactos esta aproximación no es del todo correcta, necesitamos que esas regiones sean infinitamente pequeñas, para eso entonces se hace la integral de superficie. Que es una integral para las superficies (muy básicamente explicado).Ahora para el caso de nuestro río en vez de ese lo llamamos A o B dependiendo de que área hablemos. Y esto es lo interesante cuando los vectores del campo entran en la superficie el flujo es negativo, pero cuando salen entonces es positivo. Además en río no puede entrar más agua de la que sale ni salir más agua de la que entra. Por eso podemos escribir que: Para simplificarlo vamos a decir que hay como un “cilindro” que su cara son todo el rato tangente al río y tiene como bases A y B. Algo así, pero el cilindro se ajusta perfectamente al río. De esta manera podemos escribir lo mismo en una sola de integral de superficie pero solo fijándonos en A y B, Porque el producto escalar cuando algo es tangente a otro es siempre cero. Entonces nos queda así:Pero que ocurriría si alguien habré un grifo o empieza a quitar agua en medio de A y B. Entonces tenemos una divergencia. Y no podemos escribir lo mismo que antes:Sino que ahora representa la diferencia del flujo que entra del que sale. Por eso debe de guardar alguna relación con la divergencia. Aqui llega una parte complicada. Una divergencia es el fondo lo que causa que un campo varié. entonces tiene que ver con las derivadas de las componentes del campo. LA expresión matemática es esta:Esto significa que la divergencia por el campo es igual a la derivada de la componente del campo con respecto a la dimensión de esa componente (x,y,z). Por eso al hacer la integral de volumen (que no es más que la integral respecto a x+ la integral respecto y+ la integral respecto z.) se consigue cuanto vale la divergencia y ese valor es la diferencia del flujo que entra del que sale. Por eso se puede escribir finalmente:  Y esto es la ley de Gauss. Que explicado es en realidad muy simple relaciona cuanto entra o sale de un volumen por su superficie con cuanto entra o sale desde dentro del volumen. Esta ley tiene mucha importancia en campos como la gravitación o el electromagnetismo.

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