¿De qué forma se podría parar a New Horizons?

Para los que hayáis estado viviendo debajo de una piedra este verano; hace poco más de un mes la sonda New Horizons tuvo un encuentro con el planeta enano Plutón. Y ha conseguido darnos muchísima información acerca del planeta pero a mi parecer es más importante un descubrimiento concreto . La sonda descubrió que el planeta estaba perdiendo su atmósfera. ¿Como y por que? son preguntas todavía sin responder.

Pero hoy no estoy aquí para responder a esa pregunta sino para ver de que forma podría haberse puesto en órbita a New Horizons alrededor de Plutón en vez de simplemente pasar de largo a unos cuantos kilómetros por segundo.

Primero habría que ver a que velocidad llego la sonda al planeta para así descubrir como podríamos pararlo. No es lo mismo parar una nave que se mueve a 10 Km/S que una a tan solo 3 Km/S.

Entonces para eso primero va a haber que investigar un poco los detalles del lanzamiento. Tras buscar un poco en la pagina de la NASA puedes encontrar todos los detalles. La sonda fue lanzada en un cohete de 3 etapas. La primera  por parte del sistema de lanzamiento Atlas V y unos potentes motores de combustible solido aero-jet, la segunda un propulsor Centaur y la ultima un motor de combustible solido Star 48. Luego la sonda tuvo un empuje gravitacional alrededor de la luna y unos años después uno alrededor de Júpiter.

Podríamos calcularlo usando la conservación de la cantidad de movimiento. 

Este es nuestro cohete y el bloque representa el combustible. Como bien sabemos el momento lineal en cada caso es así: 

¿Pero desde el punto de vista del cohete? Desde el punto de vista del cohete el astronauta dirá: que estaba parado al principio y luego ha habido una “fuerza” que le ha hecho cambiar de un estado de reposo a acelerar durante un tiempo y luego le ha dejado moviéndose a velocidad constante. Entonces para el las ecuaciones se reescriben así: 

(Notese que Ve no vale lo mismo para los diferentes observadores)

El ve como el combustible se empieza a alejar de el y ve que relativamente las cosas se mueven todas a una velocidad diferente a la de antes. Por lo tanto concluye que el ha cambiado de velocidad y el combustible también por una fuerza externa. Una forma de calcularla seria ver la variación del momento lineal respecto al tiempo. 

Entonces el astronauta puede calcular la fuerza:  Pero al pobre de el le están engañando sus sentidos. Si lo examinamos desde fuera te das cuenta que no hay ninguna fuerza externa sino que son todas internas por lo tanto se anulan y nos queda entonces:

Ahora vamos a hacer un truco matemático vamos a cambiar unas cosas:

Podemos simplificar t y mover M:
Y ahora podemos hacer la integral definida entre la masa inicial y la final. Y nos dará el cambio total de la velocidad.

Si conocemos un poco las propiedades de los logaritmos nos sera evidente que podemos simplificarlo a esta ecuación: Y esta es la famosa ecuación de Tsiolkovsky que depende de la proporción de la masa mojada (así se llama a la masa del cohete + combustible), respecto a la masa seca (el cohete vacio) y tambien depende de la velocidad de propulsión. Pero eso no se usa casi, lo que utilizan los ingenieros es: el impulso especifico. Pero si buscas por Internet el impulso especifico de cualquier motor a reacción las unidades son uno entre segundos. Es decir, no es una unidad de velocidad. Esto se debe a que hay que multiplicarla por 9,8 metros /segundos cuadrados. ¿Por qué? La respuesta es bastante interesante. En el proyecto Gemini el primer proyecto espacial americano se componía de ingenieros americanos y del equipo de Von Braun, esto creaba un problema todos los americanos usaban el sistema imperial y los alemanes usaban el sistema métrico decimal. Por lo tanto unos median pies segundo y otros metros segundo. Y para entonces quitarse el rollo de transformar las unidades constantemente se utilizaba el empuje especifico que era la velocidad de propulsión divida entre g = 9,8 m/s2.

Bueno ahora que tenemos la ecuación de cohete, simplemente tenemos que calcular cuanta DeltaV dispone la misión. Para un cohete por etapas la ecuación de Tsiolkovsky simplemente se aplica a cada etapa y luego se suman. Y se recomienda empezar por el principio. En el despegue disponemos del cohete entero esto es la masa del AtlasV(teniendo en cuenta los sistemas de propulsión solida) + la masa del Centaur + la masa del Star 48 + la masa de la sonda. buscamos en google y sumamos. El resultado es 564.293kg bastante para tan solo llegar 478kg que es lo que pesa New horizons. Ahora vamos a ir etapa por etapa.

Los sistemas de propulsión solidos consiguen este resultado:

(Notese el uso de multiplicar el impulso especifico por la aceleración de la gravedad.)

Luego habrá una separación y los contenedores del combustible solido caerán al mar haciendo que el cohete pierda masa así que el sistema de propulsión liquida del Atlas V aporta:

Luego el sistema Atlas V se desprendería y ahora tendremos en cuenta el Centaur:

Ahora nos toca el ultimo sistema de propulsión solido Star 48:

Los sumamos todos y observamos que el resultado es 19188 m/s. Esta es la velocidad que podría alcanzar la sonda.  Ahora a eso hay que descontar que se necesitan 10km/s para despegar y entrar en órbita baja alrededor de la tierra. Se necesitan 10km/s porque la sonda tiene que ir a 8km/s para entrar en órbita pero la atmósfera hace que se pierda parte de la eficiencia por eso se le pone un margen de 10. Entonces ya restamos 10 Km/s para estar moviéndonos a 8Km/s en una órbita a 110Km sobre la tierra. Ahora se utiliza el resto para ponerse en una trayectoria que se encuentre con Júpiter. Es decir la sonda acelera hasta los 17.188m/s con respecto a la tierra, pero hay que tener en cuenta que la tierra se mueve a una media de 29,8 Km/S entonces estas velocidades tenemos que sumarlas.

Ahora después de unos años New Horizon ha llegado a Júpiter, para saber cuanto ha cambiado su velocidad tendremos que usar la ley de la conservación de la energía. (Este principio es una maravilla, siempre se cumple, en la colisiones inelasticas también, lo que ocurre es que parte de la energía deja de ser cinética y decimos que se pierde energía. Pero en realidad siempre se conserva.)

Calcular cuanto ha variado su velocidad es muy sencillo:

(El termino de la energía mecánica creo que no necesita presentación)

Ahora podemos escribir que la energía al principio era la misma que al final.

Un poco de álgebra para escribir la variación de velocidad con respecto a R1, R2 y V1.

Ahora introducimos los valores del sistema, estos son:

(Según WolframAlpha)

Entonces hacemos la aritmética y conseguimos como resultado: 27,8Km/s. Y tras buscar en Internet encuentro mucha controversia acerca de cuanta velocidad gano la sonda con la asistencia gravitacional de Júpiter. Así que voy a sumar lo que dice la mayoría que son 4Km/s. Por lo tanto cuando salio de Júpiter la sonda iba a una velocidad de 31,8Km/s. Esto hizo que tan solo tardara en llegar 2 años desde Júpiter. Y si volvemos a usar la ecuación anterior con estos nuevos datos: podemos calcular que la sonda paso a una velocidad de 21, 84 Km/s (respecto al sol.) Para saber a cuanta velocidad iba con respecto a Plutón necesitamos restarlas. Pero la velocidad al ser un Vector debemos restar sus componentes. Para eso vamos a dividir la velocidad en una componente normal a la órbita de Plutón y otra tangencial. Y a través de las imágenes que nos da la NASA.

(Puede parecer un poco cutre pero contando los pixeles podemos hacernos una idea de ambas velocidades bastante aproximadamente)

Tras contar consigo que New Horizons su vector en esta Imagen es (1,-2) y que Plutón tiene (17, 4/3). Usando un poco de trigonometria podemos calcular el angulo entre ambos vectores.

(alfa es el angulo de la sonda beta el del planeta y zeta el resultante)(Cambio el signo al final porque en el fondo da igual)

Ahora podemos seguir haciendo trigonometría.

Si queremos ir de la velocidad que lleva New Horizons a la velocidad de Plutón necesitamos añadir toda esa velocidad en amarillo. Ese es el cambio necesario de velocidad. Para eso vamos a usar el teorema del coseno o el teorema de Pitágoras para todos los triángulos.

Tomando los datos:

(Segun WolframAlpha)

Conseguimos como resultado 20,49 Km/s. Esto es lo que necesitaría cambiar New Horizons su velocidad para entrar conseguir pararse junto a Plutón. Por eso simplemente no pudo pararse es imposible cambiar tanto la velocidad para una sonda tan pequeña, sin ayuda de planetas como Júpiter o Saturno. Pero aun así, la sonda continua su camino hacia el cinturón de Kuiper y dentro de un tiempo volveremos a oír de nuestro amigo New Horizons.

Aparte para el que este interesado en la materia he encontrado un articulo muy interesante en el que un tipo ha calculado la masa de Plutón a través de las fotografías de la sonda, bastante interesante, sencillo y rápido. Lo único esta en ingles así que para algunos os sera más difícil. Aquí esta.

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