¿1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= -1/12?

Leyendo acerca del efecto Casimir me cruce con esto:

Lo cual me dejo atónito porque dice que el infinito ese que aparece en la suma de todos los números se puede regularizar para que de un valor finito y ese valor es -1/12. Es increíble que sumando todos los números positivos se obtenga un numero negativo. Pero es más sorprendente el hecho de que sea fraccionario y negativo a la vez. Y me choco aun más que este resultado tenga aplicaciones practicas como en física cuántica a la hora de hablar del efecto Casimir y explica también el numero de dimensiones necesarias para que la teoría de cuerdas funcione.

Entonces intente encontrar una demostración. El primer matemático que consiguió, sin poder justificar este resultado, fue Leonard Euler. Luego Rienman explico porque se obtiene este resultado con su famosa función. (Que luego vamos a utilizar.) Pero también encontré algo muy interesante, el matemático Ramanujan también obtuvo este resultado, pero de una manera muy sencilla. Ramanujan era un indio que cuando era pequeño consiguió un libro de matemáticas y otro con teoremas matemáticos sin demostrar. Con ese libro pudo extrapolar todos los conceptos y misterios que ningún matemático había conseguido solventar antes. Todo esto sin recibir ninguna formación todo gracias a su intelecto matemático. Ramanujan escribió cartas a matemáticos importantes y Godfrey Harold Hardy enseguida se dio cuenta de que era un genio. El solo sin ayuda de nadie había reinventado el calculo, teorema de Pitágoras y había conseguido dar valores impares a la función zeta de Rienman (aparte de tener que inventarla por su cuenta).

En su carta Ramanujan le mando lo mejor que había descubierto entre varios de esos teoremas y conjeturas estaba esto:

Había demostrado que la suma de todos los números positivos era -1/12.

Bueno basta de historia vamos a hacer algo de matemáticas vamos a demostrarlo como hizo Ramanujan.

Para eso, primero hay que demostrar un par de cosas antes.

Para demostrar el valor de esta serie. Simplemente vamos a demostrar que no se llega a ninguna contradicción. Y por lo tanto debe de ser verdad. Entonces vamos a simplificar:

Podemos observar como todos los termino de grado uno o mayor se anulan. Dejándonos al uno. Obteniendo algo de lo más razonable:

Esto nos indica que nuestra primera suposición era verdad. Ahora vamos a derivar la nuestra primera formula:

Vamos a poner que x = -1 y entonces obtenemos:

Aquí ya empiezan a pasar cosas extrañas, acabamos de demostrar que la suma de todos los números impares menos la suma de todos los numero pares es igual a 1/4. Increíble!!!!!! pero todavía no hemos acabado. Vamos a aparcar esta ecuación por ahora que luego más tarde vamos a necesitar.

Ahora vamos a usar una de las ecuaciones más famosas en matemáticas, se dice que es capaz de encontrar todos los números primos (pero es solo una hipótesis sin demostrar, que el que lo consiga ganara un premio de 1.000.000$), es la función zeta de Rienman, también conocida como la función zeta de Euler-Rienman. Esta función inventada por Euler y perfeccionada por Rienman (Añadiendo la posibilidad de funcionar en el plano complejo, lo cual es el principio de la hipótesis de Rienman.) Esta función es la siguiente:

(Puede parecer sencilla pero esta ecuación podría explicarlo todo acerca de los primos)

Entonces lo que hizo Ramanujan fue multiplicarla por 2^-s:

Y luego resto la original menos dos veces esta nueva ecuación:

(Lo he escrito así para poder restar más fácilmente)

Podemos observar que los términos impares se quedan igual, pero los pares se vuelven negativos. Entonces si dejamos que S= -1.

Si nos fijamos bien el termino de la derecha no es más que la suma de todos los impares menos la suma de todos los números, y eso ya sabemos cual es el resultado:

Entonces:

¿Pero que es zeta cuando toma el valor -1?

Ergo:

La suma de todos los números positivos enteros debe de ser -1/12!!!!!! 

Ahora voy a explicar lo que significa esto: claramente esto es una serie divergente es decir que tiende a infinito. Estas series son muy aburridas en matemáticas. Pero igual es que sumar todos los números no es como debemos aproximamos a estas series. Por eso al regularla, que es lo que acabo de hacer, acabo de darle un valor finito. Es como si la serie fuera un montón de nudos y cables, pero con esta aproximación lo que se consigue es tirar de los cables adecuados y lo que sale es -1/12, por eso los matemáticos desechan el resultado infinito y le dan como valor real -1/12. Esto no es posible para toda serie divergente solo algunas se les puede dar un valor real. Y es este valor finito aislado que se puede aplicar para calcular el efecto Casimir.

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