Mi número favorito (En base diez)

He estado de vacaciones en el sur de Francia y en día de tormenta, con rayos y centellas en el que nadie se atrevió a salir a la calle y por lo tanto no podía hacer nada salvo pasar el tiempo leyendo un libro increíble. El libro era Things to Make and Do in the Fourth Dimension, (Cosas que hacer y “hacer” en la cuarta dimensión), muy recomendada su compra. Era un libro muy interesante de matemáticas en que se habla desde dígitos a cuerpos de anchura constante pasando por teoría de nudos y matemáticas en 4-dimensiones. Encima lo hacia con humor y se hace muy llevadero. En este libro mencionaba en el primer capitulo el sistema digital que usamos. En base 10. Y propuso un reto. Solo hay un numero en base 10 de 9 dígitos que cumpla una serie de condiciones. La primera es que deben aparecer todos los dígitos del 1 al 9. Y la segunda y más importante es que el primer dígito sea divisible entre 1, el conjunto de los dos primeros sea divisible entre 2, el conjunto de los tres primeros sea divisible entre 3 y así hasta que el numero entero sea divisible entre 9. Estos números se llaman polydivisibles hay muchisimos como el 102.000.564 pero solo hay uno entre 100.000.000 y 999.999.999 que sea polydivisible y no se repitan sus números. Los que quieran intentar encontrarlo que dejen de leer ya porque apartir de aqui lo empiezo a calcular.

Pensando rápidamente la primera secuencia que te puede venir a la cabeza es 123456789. Y es valida hasta el cuarto dígito: 1 es múltiplo de 1, 12 es divisible entre 2 y 123 es múltiplo de tres pero al incorporar el cuatro la secuencia se rompe. Entonces yo menos mal que había sido previsor y me había llevado un cuaderno y bolígrafo para estas cosas. Así que aquí esta la solución: voy a escanear las hojas.

AVISO IMPORTANTE: A partir de aquí muy mala caligrafía.

Lo primero que hice fue marcar que valores puede admitir cada casilla. La quinta posición solo puede admitir un 5. Las casillas en números pares solo pueden admitir números pares y el resto solo puede admitir el resto de numero que no hemos contado: los múltiplos de tres y el siete.

Ahora lo que he hecho es calcular todas las posibilidades para los tres primeros dígitos.  

Ahora se hace lo mismo para todos los cuartos dígitos y vemos cuales son divisibles entre cuatro y por sorpresa nos podemos dar cuenta que siempre acaban en 2 y 6.

Ahora añadimos el cinco y escribimos todas las posibilidades que pueden ser divisibles entre seis y al comprobarlas observamos que todos acaban en cuatro y además todos los cuartos dígitos son un seis.

Ahora a los que quedan les añadimos un 1, 3,7 o 9 dependiendo de que dígito todavía no haya aparecido en el numero y la lista se reduce a 4 candidatos. 

Ahora añadimos el dígito par que todavía no haya aparecido y comprobamos que al dividir entre 2 dos veces, nos quede un numero par. Y solo uno pasa esta prueba al que le añadimos el numero que falte y este es el resultado:

Por eso este es mi numero favorito en base 10 porque estuve un buen rato escribiendo números para conseguirlo. El número 381654729 es el único numero que su primera cifra es divisible entre 1, las dos primeras entre 2, las tres primeras entre 3, las cuatro primeras entre 4…. (en base 10.)

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