¿Como calcular Pi?

Pi es la super-estrella de las matemáticas. Es uno de los números más famosos entre e y otras constantes. Pi es un número interesante, porque es irracional. Es decir sus números decimales son infinitos y no siguen ningún patrón. Además pi es un número transcendental (esto es un poco más complicado de explicar que irracional). Pero Pi es famoso por su relación con los círculos y esferas. Ya sea relacionando la circunferencia o el volumen de una esfera. Pero también aparece en famosas ecuaciones como la fuerza de Coulomb o las ecuaciones de campo Einstein.

Por eso Pi ha fascinado a matemáticos, filósofos y Físicos. Los primeros en aproximarse a calcular el valor de Pi creo que fueron los Egipcios (O Babilonios, no me hagáis mucho caso)que usaban el valor 3,2. Pero su método no era muy bueno. Ellos simplemente hacían la división de la circunferencia entre el diámetro. Como se ve claramente en el resultado su método no era muy preciso. Pero luego llegaron los griegos (Los geometristas) entre ellos Arquímides que tuvo una idea genial para la época. Cogió y empezó a dibujar polígonos regulares dentro de un circulo.

 

Así hasta el hexágono que era la última figura regular que sabían hacer los Griegos.Entonces aunque no sea del todo preciso el perímetro de esta figura se parece a la circunferencia, luego hizo lo mismo pero por fuera.

De esta forma pudo restringir entre que valores se encontraba el valor que buscaba. Y llego a la conclusión que:

Que es valor que nos enseñan a utilizar en el colegio cuando somos pequeños. Pero no es suficiente. Todo las civilizaciones intentaban acercarse a ese valor. Chinos, Indios y Islámicos se acercaron cada vez más. Pero fue en Europa en el siglo clave para las matemáticas cuando llego Jacob Bernoulli. Y no es el Bernoulli que descubrió la ecuación de dinámica de fluidos (ese fue su sobrino), ni el que descubrió la regla de l’Hôpital y fue maestro de Leonard Euler (ese fue su hermano). Ya os podéis imaginar el nivel que había en las reuniones familiares cuando se juntaban todos. Pero bueno Jacob Bernoulli hizo un gran trabajo matemático fue el primero en concebir el numero e, pero sobre todo nos dio sus números mágicos. El resolvió un problema muy interesante. Se quería conseguir una formula que reduciría el trabajo a los matemáticos y Bernoulli consiguió una formula (a mi parecer fea pero muy potente.)

Los matemáticos querían reducir una serie así:

Y Bernoulli consiguió esta formula:

(Una formula bastante fea)

Os preguntaréis: ¿Qué son esos sub-indices que tiene esa B? ¿y Qué esa B en primer lugar? Pues son los números de Bernoulli. Y cuando tienes B2 significa que tienes que coger como valor la segunda entrada en la tabla de los números de Bernoulli:

(Como veis faltan os números impares, salvo el 1, porque todos los números de Bernoulli de numero impar son igual a cero.)

Luego los matemáticos cogieron la formula y la modificaron para que pudiera dar resultados a series infinitas consiguiendo esta ecuación:

 (Aquí no hay ningún circulo ni nada parecido, aun así Pi aparece de la nada. Típico de Pi.)

Ahora introducimos el valor m=2 (por ninguna razón en especial salvo simplificarme el trabajo más adelante). Y observamos que el resultado es:

Entonces ahora disponemos de una serie infinita que nos dará el valor de pi. Empezamos a sumar y vemos que se acerca, pero nunca llegara a tal valor sino que se aproximara cada vez más. Por eso vamos a usar computación para acercarnos mucho en poco tiempo. Entonces cogemos python y empezamos a escribir código. Simplemente queremos que sume:

Todo el rato y luego haga la raíz cuadrada, no es muy complicado. Al final este es el código que conseguí.

Y tras un largo día mi ordenador me dio el valor: 3,14159265358979323846264338327(8751059 Es una buena aproximación los primeros 29 dígitos de Pi son correctos a partir del paréntesis ya no. Seguramente si hubiera estado 5 minutos más habría conseguido el dígito 30. Pero resumiendo esta es una forma para calcular Pi. Ahora se usan algoritmos como el de Chudnovsky que son mucho más rapidos y eficientes.

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