¿Cuanta distancia se viaja en ** años?

Hace no mucho fue el cumpleaños de mi padre (que por respeto no voy a indicar su edad), entonces se me paso por la cabeza hacer una aproximación de cuanta distancia ha viajado en su vida. Porque como la edad no es una medida de tiempo sino que en realidad es cuantas vueltas se han dado al rededor del sol. Yo simplemente quería llegar y felicitarle por su km número ##, y ver que cara ponía.

En ** años te da tiempo a viajar mucho y ver mucho mundo. Puedes ver la antigua Yugoslavia, Inglaterra, Francia, América y muchos países más. Es bastante distancia recorrida, pero esto no es más que la punta del Iceberg. Porque aunque no nos demos cuenta estamos recorriendo mucha distancia constantemente. La tierra gira sobre si misma, órbita el sol y se mueve a lo largo de la galaxia y esta encima se mueve por el universo a velocidades increíbles.

Al calcular esa distancia se nos presenta un problema. Si queremos calcular la distancia que recorre un punto en la superficie de la tierra, en un momento la velocidad que lleva se alinea con la velocidad orbital de la tierra y en otro momento tiene sentido contrario. Al igual ocurre al comparar la velocidad con el caso del sistema solar y la vía láctea. Pero para no morir en el intento vamos a tan solo calcular la distancia recorrida respecto al sol, ya veréis que parece una tontería, pero es que la matemáticas que vamos a emplear son algo complejas.

(Las flechas rojas son las velocidades en diferentes momentos del día y la verde es la velocidad orbital de la tierra.)

Por eso necesitamos usar las matemáticas y física si queremos calcular la resultante de ambas velocidades. En matemáticas existe una función que es casi una super-estrella, se llama la función seno. Aquí os la presento:Esta función oscila entre los valores 1 y -1 con un periodo de 2pi. Esto es muy interesante porque puede resolver funciones que se requiere que oscilen entre dos valores. Además existe una función Coseno que es lo mismo que la seno pero su fase inicial es diferente, permitiendo resolver la otra componente.

(Seno en rojo y coseno en azul)

Para calcular la velocidad debemos ahora establecer unos ejes de referencia, estos sean perpendiculares entre si para simplificar los cálculos (y no meternos en matemáticas que nos pueden llevar a la geometría diferencial, que eso es un caos!!!!!!!). Entonces el primer eje es tangente a la velocidad de la tierra y el segundo es normal (perpendicular) a la velocidad de la tierra. Estos ejes rotaran alrededor del sol, lo cual no importa porque vamos a asumir que la órbita terrestre es una circunferencia perfecta y entonces se puede “extender” (No se puede, perderemos precisión, pero sino nos resultara imposible) para que forme una linea recta que elimine toda inconveniencia con los ejes de referencia. Entonces ahora llega la parte complicada, necesitamos unas ecuaciones que describan la distancia en función del intervalo de tiempo. Como la velocidad (si, necesitamos la velocidad para conseguir la distancia. Esto se vera más evidente en nada) se comporta como un movimiento armónico en cada eje, podemos escribir la ecuación de ese movimiento para cada componente:

(Vo es la velocidad a la que rota la tierra, w es la frecuencia angular de la rotación de la tierra y u es la velocidad a la que se traslada la tierra.)

Entonces ahora con estas funciones podemos escribir una ecuación que nos de la velocidad en cualquier instante del tiempo. Simplemente lo haríamos como cuando sumamos dos velocidades normales, usando Pitágoras. Así se obtiene: Ahora podemos simplificar:

Y aquí llega la parte interesante, no es la primera vez que usamos el calculo infinitesimal pero aquí las cosas se complican un poco. Como todo el mundo sabe la velocidad se define como la derivada de la posición respecto al tiempo. Entonces si se integra entre dos valores que van a ser cero y t conseguiremos la distancia total. Por esta razón he empezado usando la velocidad, si simplemente escribiera las ecuaciones de la posición y viera cuanto a variado obtendría el desplazamiento neto, pero no la distancia total por la que se ha desplazado la partícula. Así que: 

Pero aquí llega el problema, esta integral, es muy difícil. Así que, ¿Cómo podemos resolverla? Si os soy sincero estuve atascado 8 días con este problema sin ninguna pista de que hacer. Pero de repente me llego la iluminación. Me di cuenta que tan solo necesito una función lo suficientemente aproximada. Es decir, solo tiene que ser parecida en todo lo que mida su periodo porque luego simplemente puedo multiplicarlo por el numero conveniente. ¿Pero como consigo una función que se parezca a esto? La respuesta es con las series de Taylor. Las series de Taylor, son una herramienta que expresan cualquier función como la suma infinita de polinomios normales. Y estas se pueden integrar fácilmente. La serie encima sigue este patrón que a mi parecer es muy elegante. Además tiene mucho sentido ya que a medida que añades términos se observa como cada vez más se parece a la función. El primer termino es una simple recta horizontal que concuerda con el valor de f(a), luego concuerda la derivada en ese punto y así se va expandiendo por toda la función hasta el infinito. Así que si aplicamos esto a nuestra función con los valores:

Al realizar la expansión de Taylor para a=0, se obtiene (usando Wolfram|Alpha):

(O(x11) significa que están incluidos hasta ese termino, es decir, el último termino es x10)

Ahora se realiza la integral, tarea tediosa (en este caso), pero mucho más sencilla que lo anterior. Simplemente se integra cada termino entre cero y t, se multiplica por el número de años deseados y listo.

(Solo me he molestado en integrar los cinco primeros términos porque son los únicos relevantes apartir de ese momento todos se vuelven muy pequeños.)

Aunque parezca una ecuación fea (y lo es mucho), esta función es una de las mejores aproximaciones que obtendremos para nuestra ecuación. Lo cual es un poco deprimente porque tras todo el trabajo para obtener esta expresión observamos que todos los valores salvo el primer termino tienen coeficientes tan pequeños que casi no afectan al resultado. Así que simplemente una buena aproximación es:

(t en segundos y D(t) en Km)

De aquí simplemente sustituyendo se obtiene el valor que buscábamos. Desafortunadamente 29,83 Km/s es casi la velocidad orbital de la tierra, la conclusión es evidente, da igual tener en cuenta la rotación de la tierra, la distancia que recorres al año es casi la circunferencia de la órbita terrestre, casi no influye la rotación de la tierra.

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