¿La luz siempre viaja por el camino que menos tiempo le lleva?

Esto parece ridículo pero la luz es capaz de decidir que camino le llevara el menor tiempo y moverse a través de el. En realidad esto deriva del principio de Huygens, pero hoy no voy a hacer esto. Existe un fenómeno llamado refracción en el que cuando la luz cambia de medio cambia su dirección. Por esta razón tu pajita en un vaso de agua parece doblada.  Simplemente la luz esta haciendo “cosas raras” a la hora de pasar del agua al vidrio y del vidrio al aire. Esas “cosas raras” se llaman refracción y sigue esta ley, la ley de Snell:  O como aparece en la mayoría de libros de texto:  Esto es lo que me propongo demostrar, como este fenómeno se observa en la realidad, si se consigue desarrollar matemáticamente a través una primera suposición entonces la primera suposición deberá ser verdadera. Para este caso voy a asumir que la luz es capaz de saber cual es el camino que le llevara menos tiempo recorrer y utilizarlo. Para eso necesitamos un sistema. Que va a ser este:

Se observa claramente que la distancia que recorre la luz al cambiar de medio es la suma de las hipotenusas de los triángulos. Eso divido (gracias a un buen samaritano que se dio cuenta, porque yo como buen despistado que soy lo había multiplicado y obtenido un resultado erróneo) por la velocidad en cada medio debe darnos el tiempo total:  Entonces como bien sabemos los puntos en los que la derivada de una función equivale cero esta se encuentra en un máximo o mínimo. En este caso es evidente que solo existirá un mínimo ya que siempre se podrá encontrar un nuevo valor de x que de como resultado un tiempo mayor. Entonces derivamos respecto x e igualamos a cero.Derivamos:

Ahora para simplificar las cosas un poco vamos a dejar que (f-x) sea igual a un valor (llamaremos lambda) así ahorramos tinta y obtenemos limpieza.

Ahora elevamos todo al cuadrado: Reagrupamos algunos términos: Ahora hay que explicar una cosa llamada el indice de refracción, este se define como una velocidad estándar (para la luz la velocidad de propagación por el vació) entre la velocidad en ese medio. Entonces esto queda algo así: Si los dividimos entre ellos obtenemos: Entonces para simplificar las cosas a este cociente lo llamaremos gamma y podemos sustituir en la ecuación anterior:Ahora se nos puede ocurrir dividir todo entre D al cuadrado y d al cuadrado dejando: Ahora operamos la parte de arriba y obtendríamos:Simplificamos:Ahora podemos usar trigonometría volviendo a los triángulos iniciales vemos que x es el cateto opuesto y d el contiguo por eso su cociente es la tangente del ángulo de impacto. Y lambda es un cateto opuesto y D es el cateto contiguo por eso su cociente es la tangente del ángulo refractado. De esta forma se puede escribir: Sacamos factor común:Y como bien sabemos la tangente también se define como el seno de ese angulo entre el coseno así nos queda: Reagrupamos algunos términos y operamos el 1 más el seno cuadrado entre coseno cuadrado:

Observamos la suma de coseno cuadrado más seno cuadrado y sabemos perfectamente que eso es igual a uno, entonces nos queda: (ya casi acabando)Simplificamos:Y obtenemos finalmente la ley de Snell:Y aquí esta, como bien sabemos que esta ley se cumple entonces debe de ser cierto que la luz siempre va por el camino que menos tiempo le llevara recorrer. Esta propiedad surge en realidad de su naturaleza ondulatoria esto es una simple demostración de que ese principio se cumple, y no doy ninguna derivación a este fenómeno.

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