e^iπ=-1

Mientras escribo la segunda parte de la serie de entradas acerca de la Relatividad General, estaba pensando en explicar esta idea que considero una de las ideas matemáticas más elegantes jamas formuladas.

La identidad de Euler, esto que parece muy simple, en el fondo es una idea que une gran parte de las matemáticas. Así que voy a intentar explicarla de la forma más sencilla. Una parte de los lectores entenderán todos los símbolos pero no verán tan clara la relación, otros en cambio que han profundizado y han tenido la suerte de que en una clase de calculo se ha explicado a través de la expansión de Taylor y el teorema de Moivre, pero aun así todavía os parece magia negra o una coincidencia fortuita. Pero en el fondo no es una simple coincidencia, lo que ocurre es que si queremos tener un conocimiento profundo tenemos que reformular lo que entendemos como sumar y multiplicar (también restar y dividir, aunque intrínsecamente son la misma operación). Y otros estaban más descolocados que un pulpo en un garaje, así que para vosotros, voy a empezar a explicando que significa cada termino.

 

Empecemos, lo primero es aclarar esto:Esto no es del todo correcto, solo tiene sentido cuando x es  un numero entero, hay otra manera que se volverá evidente a medida que avance el lector. Para llegar a ella lo primero es reformular lo que son los números. Habitualmente tendemos a entender los números como entidades que contables, puedo tener una cosa, dos o tres. Pero a medida que avanzan las preguntas se vuelve más complicado. ¿Puedo tener media cosa? Sí. ¿Puedo tener raíz de dos cosas? Es más complicado. ¿Puedo tener una cosa negativa? muchísimo más complicado. Y luego ya cuando llegan los números complejos, ni nos lo preguntamos, esto hace evidente que la forma de pensar que tenemos acerca de los números es lo que nos limita.

Es mucho más natural pensar en los números como dos cosas: acciones y puntos. Todos estamos familiarizados con la recta de los números:Aquí están todos los números (reales), cada número es un punto en esta infinita recta. Esto es sencillo, luego los números como dos tipos de acciones (o operadores): “sumadores y multiplicadores”. Es decir, los números cuando se suman (o restan) trasladan los puntos de la recta a otra posición dando el resultado. Por ejemplo sumar 3 es en realidad trasladar el cero a la posición del tres moviendo el resto de números de la misma forma, de esta manera obtenemos: 

Es muy interesante, observesé que el resultado de aplicar dos operaciones de suma es lo mismo que aplicar otra esta resultante es lo que definimos como el resultado de una suma!!!!De esta manera hemos redefinido la suma, ahora la multiplicación: los números también son otra acción multiplicadores de esta manera lo que se realiza es expandir la recta de manera que el 1 quede donde estaba antes el número multiplicador:Y al igual que ha ocurrido anteriormente aplicar dos multiplicadores consecutivamente es lo mismo que aplicar otro, este es lo que llamamos el producto de esos dos números:

 

Ahora llega la parte interesante e a la x es una función que realiza una tarea increíble. Transforma sumadores a multiplicadores. Por ejemplo si cogemos dos sumadores A y B los sumamos y luego aplicamos e a la x obtenemos un número C. Y si primero elevamos e a la A junto con e a la B y luego los multiplicamos obtendremos C:

Muchas funciones cumplen esta función, pero solo hay una que lo hace de forma natural esta es e a la x. El valor e es en realidad un caso muy concreto de esta función para el valor x=1:

(Explicaré en otra entrada por que tiene estas propiedades mágicas: que su derivada es la misma y que transforma sumadores en multiplicadores)

Ahora llega dar un paso de gigante, también podemos jugar a desplazar y expandir en el plano complejo de los números imaginarios. Los números complejos no son más que un punto en el plano, un sumador y un multiplicador. El sumador desplaza el punto cero al nuevo punto desplazando todo el plano:

Y un multiplicador rota y expande el plano de forma que el uno “aterrize” en el multiplicador:

De esta forma nos damos cuenta que existe una recta perpendicular a los números reales que al utilizarse como sumadores desplazan el plano verticalmente y al ser multiplicadores lo rotan. En concreto hay uno que al aplicarse dos veces lo rota 180º haciendo así que menos uno tenga una raíz cuadrada!!!!!

Y como ya sabemos que en la recta e a la x transforma desplazarse a expandirse: lo mismo pasará en el plano. Entonces e a la x transformara estos nuevos sumadores verticales en rotaciones. De forma geométrica significa que e a la x coge los puntos de la recta de los números imaginarios y los “enrolla” en un circulo del radio uno:

Lo cual significa que se necesita una distancia π para rodear el circulo. Esto nos lleva a que desplazarse π hacia arriba (es decir, el número iπ) al transformarlo con la función e a la x se da una media vuelta a la circunferencia “aterrizando” en -1
De esta manera concluimos que: 

Esta forma en la que he expuesto la Identidad de Euler es a mi parecer una forma muy poderosa de pensar matemáticamente a la vez de ser muy elegante. Por esta razón creo que esta es la relación matemática más elegante que hay!!!!

Crédito a 3Blue1Brown por darme esta nueva forma de pensar. Y las animaciones. Recomiendo muchísimo ver sus vídeos a cualquiera que le interesen un poco las matemáticas le van a encantar.

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