100 años de relatividad general!!!! (Parte 2) Introducción al análisis de campos.

Esta es mi serie de entradas más ambiciosa por el momento, intentaré explicar la teoría de la relatividad general y luego intentare realizar a la vez que explico el desarrollo matemático. Para entender esta página se asume que el lector tiene conocimientos de la teoría de la relatividad especial, cálculo y álgebra. También recomiendo leer la primera parte, si no se tienen conocimientos del principio de equivalencia y sus implicaciones

Como ya hemos visto los cuerpos en un campo gravitatorio se encuentran en un sistema de coordenadas curvas, esto se traduce físicamente como un espacio-tiempo curvos. El problema llega cuando hay que relacionar matemáticamente la curvatura del espacio-tiempo con la gravedad, y ni siquiera tenemos todavía una forma de medir y cuantificar la curvatura. Aquí llega Rienman, matemático que desarrolló unas herramientas en el análisis geométrico que podemos usar.
Primero comenzamos explicando que es un campo. Nos vale cualquier campo, incluso un “campo” con hierba y colinas:
Este “campo” tiene diferentes alturas por las colinas y diferentes aspectos geográficos. Y por lo tanto podemos usar un sistema de coordenadas (x,y por ser originales), del cual para cada punto(x,y) existe una altura asociada(z):

No parece muy complicado por ahora. Ahora imaginemos que estamos encima de una colina y nos movemos, de esta forma comenzamos a bajar por la pendiente(palabra importante), al de unos metros nos paramos y observamos como nos hemos desplazado. Una aproximación podría ser construir un triángulo de esta forma:

Pero no es lo suficientemente preciso, ya que el terreno podría haber sido de infinitas maneras por las irregularidades y todavía seguir cumpliendo este triángulo.

(La linea roja representa la aproximación y la verde el terreno real. Se puede ver que todos estos diferentes terrenos dan la misma aproximación.)

Así que vamos a hacerlo en varios pasos. Si esos pasos se hacen cada vez más pequeños hasta que sean infinitamente pequeños tendremos la altura entre esos dos puntos totalmente definida. Si hacemos eso para todo el campo obtendremos todo el campo. Obtendremos para la coordenada x en esa recta toda los puntos (alturas) del campo. Y así obtenemos: Donde el dphi de la derecha es un aumento infinitamente pequeño del valor del campo (en el caso del campo de tierra la diferencia infinitesimal de altura) y dphi/dx es la derivada en ese punto (en el caso del campo de tierra la pendiente) y dx es la variación infinitesimal de coordenadas (un moviento infinitamente pequeños en horizontal en el caso del campo de tierra).Esto es la derivada en un punto del campo por el diferencial de x evidente dicha multiplicación dará el diferencial del campo. De forma más evidente prueba a simplificar: 

Aunque esto parezca una tontería hemos conseguido conocer todo el campo en su coordenada x. Así si sumamos el resto de coordenadas obtendremos el campo en todos sus puntos. Ahora vamos a dar el salto al mundo matemático esto que hemos hecho para un campo de tierra y hierba con sus alturas, podemos generalizarlo para todos los campos, vectoriales, escalares, tensoriales…

Por esto antes de continuar voy a realizar un cambio de simbología, habitualmente usamos las coordenadas x,y, z. Pero los físicos son tipos muy raros que les gusta pensar en n dimensiones, por eso en vez de restringirse a tres letras usan x1, x2, x3 así hasta el infinito…. Habitualmente las tres primeras coordenadas hacen referencia a las coordenadas espaciales habituales y la cuarta al tiempo: 

Así podemos dar el campo en todas sus coordenadas como:

(Ecuación de suma importancia numero uno recuerda la porque se volverá a utilizar)

Esta ecuación que parece dar mucho miedo, porque hay un diferencial y un sumatorio es en el fondo la suma de las derivadas respecto a las coordenadas en todos los puntos del campo por el diferencial de su respectiva coordenada. 

(Como podéis ver que simplificando se obtiene el diferencial del campo en cada punto)

Ahora llega la parte más complicada, como bien sabemos Einstein demostró que da igual en que sistema de referencia se ubique un observador ambos son igualmente validos. Para eso vamos a inventarnos un nuevo sistema de referencia que denotaremos con y. Así que tendremos que obtener alguna forma de transformar de un sistema a otro, como hacia galileo con la cinemática, pero de forma infinitesimal!!!!

Así que vamos a hacer un poco de trampas y usando la regla de la cadena podemos obtener:  Que al pasarlo a forma de serie se obtiene:

(Ecuación de suma importancia numero dos recuerda la porque se volverá a utilizar)

Lo que hemos obtenido es una forma de calcular la derivada en una coordenada del nuevo sistema de referencia trasformando cada coordenada del sistema anterior. Así hará falta hacerlo para cada coordenada del nuevo sistema. Pero con esto nos vale.

Con esta entrada atrasada varios días por exámenes y mil historias ya tenemos un pequeño conocimiento del análisis matemático de un campo y como se transforma. Importante, si no has pillado nada recomiendo que estudies calculo ya que a partir de aquí las matemáticas se volverían más intensas.

La próxima parte tratará de los tensores…

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s