Demostrando moscas a cañonazos

No tengo mucho tiempo últimamente. Pero aun así yo por mi cuenta consigo hacer alguna que otra cosa interesante. Así que quería mostrar una de las pruebas más interesantes que se me han presentado en mucho tiempo. Utiliza matemáticas complejísimas que han fascinado a matemáticos durante muchos siglos para demostrar cosas que en un primer vistazo resultan simples. En esta entrada vamos a demostrar la irracionalidad de la enésima-raíz de dos a través del último teorema de Fermat. Este fue propuesto por Fermat en un margen de uno de sus libros, el fanfarroneaba de poder demostrarlo pero los matemáticos creen que era un farol, ya que la prueba de este teorema es muy complicada (tanto que el autor de esta humilde entrada no sería capaz de comprender).

Tan complicada resultó la demostración que se tardo 358 años en desarrollar por un matemático llamado Andrew Wiles en 1994, que tras siete años trabajando tan solo en esta demostración, hizo público su descubrimiento en unas conferencias en Cambridge. Lo divertido de la historia es que a parte de él tan solo los organizadores del evento sabían que iba a ocurrir, por esta razón cuando se dio su conferencia todas las demás se cancelaron para que todos los matemáticos fueran a la de Wiles. Y así tras 3 horas y media de conferencia mucha gente ya entendió que estaba ocurriendo, pero muchos otros, solo cuando se llego a la conclusión final tras cuatro horas de demostración se dieron cuenta de lo que acababan de presenciar y comenzaron a aplaudir y se descorcharon botellas de champan y fue un gran día para las matemáticas.

Me gustaría aclarar varias cosas sobre la historia, Wiles no demostró directamente el último teorema de Fermat. Más bien demostró la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil que tiene que ver con las curvas elípticas son formas modulares.(Muy complejo, eso ya lo explicaré). Esta conjetura se conocía por la demostración de un matemático llamado Ken Ribet que implicaba el último teorema de Fermat. Por esta razón Wiles al demostrar la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil, había demostrado el último teorema de Fermat!!!

Bueno! Basta de historia, pasemos a las matemáticas: Primero habrá que explicar que dice este “complicadísimo”(por algo les habrá llevado tanto tiempo) teorema. Pues el teorema de Fermat dice:

Solo eso, esta conjetura tan humilde encierra muchos secretos matemáticos que tardaron en descubrirse 358 años. Entonces sabiendo esto, ¿Cómo podemos demostrar la irracionalidad de la raíz enésima de dos, usando el teorema de Fermat? Muy sencillo, por contradicción:

Si decimos que la raíz enésima de 2 es racional entonces podemos escribir: 

Seguimos reorganizando términos:

Espera un segundo!!! Esto es exactamente igual que el último teorema de Fermat! Esto quiere decir que para n>2 no existen soluciones enteras para a y b. Ergo nuestra primera premisa debe ser errónea, no podemos escribir la enésima raíz de 2 como la fracción de dos números: 

Y aquí está acabamos de demostrar que la raíz enésima de 2 no es racional para n>2 porque: (mirar el último teorema de Fermat.)

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