¿Como surge un arcoiris?

Siento haber tardado tanto en escribir una entrada pero he estado con finales y selectividad y ahora ya vuelvo a la acción, con nuevas preguntas y más Física y Matemáticas.

Esta pregunta surgió del cómic xkcd, What if…? (Una de las principales inspiraciones para este blog). En su última pregunta xkcd responde a como se vería un arco iris en Tatooine el planeta ficticio donde comienza Star Wars I: Una nueva esperanza (simplemente finjamos que las 3  precuelas no existen…). Xkcd suele dar la solución correcta pero habitualmente no explica las matemáticas y la física detrás de su razonamiento.

Así que esta vez voy a comenzar por aclarar yo mismo las matemáticas más básicas de un arcoiris. Lo primero hará falta explicar todo sobre los arcoiris. Buuff esto va a ser realmente complicado. Hará falta aclarar bastantes cosas. Lo primero es como se forma un arco iris. La mayoría de la gente entiende que ocurren porque las gotas de lluvia refractan la luz en su interior por la diferencia en la refracción de las diferentes frecuencias se “despliega” el espectro de luz dándonos los diferentes colores. Esto se puede fácilmente entender a través de la ley de snell. Y de los indices de refracción diferentes para las diferentes longitudes de onda. Así que vamos a hacer algo de álgebra analítica junto a la ley de Snell para poder calcular los ángulos incidentes necesarios:

Empecemos por el ángulo limite, esto no es muy complicado, cuando un rayo de luz pasa de un medio lento a uno más rápido y impacta en la región con un ángulo muy abierto este en vez de atravesar la frontera se ve reflejado. En el caso de nuestra gota vamos a emplear las dos longitudes de onda que limitan el espectro de la luz visible: el violeta (380nm) y el rojo (750nm), con sus respectivos indices de refracción en el agua de: 1,3406 y 1,33 respectivamente.

Ahora tenemos que observar la gota, con esto quiero decir calcular los rayos y su reflexión. En este dibujo se muestra como debe impactar el rayo en el fondo de la gota. El ángulo de impacto tendrá que ser el arcoseno del inverso del indice de refracción:

(Donde n’ es el indice de refracción del violeta)

Entonces usando álgebra podemos encontrar el punto donde tiene que impactar el rayo en la gota y luego encontraremos con que inclinación lo hace. 

La primera ecuación es una circunferencia que describe nuestra gota en función del radio y la segunda describe el rayo una vez dentro de la gota. Donde m es la pendiente  que será la tangente del ángulo y r es el radio de la gota. Si resolvemos x en función de m y r encontremos el punto de incidencia.

Resolvemos esta simple ecuación de segundo grado: 

Ahora pasamos a calcular que pendiente tiene ese punto, algo que derivando se puede encontrar fácilmente: Ahora sustituimos el punto de impacto: 

(Realmente es una ecuación muy fea…)

Y por último para calcular el ángulo que forma con la horizontal emplearemos el arcotangente:  

(Esto solo empeora…)

Ahora toca resolver…  sustituimos los valores: 

Para el rojo se obtiene: 7,506933253º 

Y para violeta se obtiene: 6,478883488º

Ahora con un poco de geometría se puede calcular el que forma el rayo con la perpendicular a la tangente.

La recta roja representa la tangente, la azul el rayo refractado y la verde la perpendicular a la tangente. Luego, el ángulo A es conocido y el ángulo B también. Se puede observar que B+C son 180º y que A+C+D=360º y que D+R= 90º Donde R es el ángulo refractado.

Donde se concluye que R=90º+A-B, así para el color rojo se obtiene que R= 48,75346724º y para el violeta se obtiene que R= 48,23944349º. Ahora toca volver a Snell.Sabiendo el ángulo refractado de cada color, su ángulo refractado y tomando que el indice de refracción del aire es muy aproximadamente 1. Despejamos el ángulo incidente como:

Dando como resultado para el rojo: 89.9181º y para el violeta: 89.9866º. Dejando así nuestro dibujo:

(Este se ha hecho haciendo la media entre los dos colores.)

Finalmente podemos calcular que el ángulo con el que cambia de dirección la luz sera el doble del ángulo con la horizontal del rayo incidente: dando finalmente el resultado de 14º.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s