Un simple problema de geometría

Cuando se me presento este problema de geometría supuse que iba a ser algo sencillo que cualquier griego durante el periodo de la Academia podría resolver. Por esa razón empecé relacionando ángulos y empleando principios de la geometría antigua como ángulos complementarios y similares. Al final desistí y me armé con el sistema cartesiano para resolverlo. Este es el problema por si queréis resolverlo antes de que empiece.

Primero voy a dar la solución empleando matemáticas modernas, es decir, el sistema Cartesiano. Para ello tenemos que definir una serie de ecuaciones lineales: las rectas CA, BA, BE y CF. Y así encontraremos la pendiente de la recta FE.Ahora encontramos las coordenadas de F y E, usando los puntos de corte: 

Resolvemos:

Y calculamos y de F junto con y de E:

Ahora para calcular la pendiente simplemente tomamos la diferencia de la coordenada y dividida entre la diferencia de la coordenada x: Se observa que el termino B se cancela dejando: 

Ahora una vez que se obtiene la pendiente se puede calcular el angulo con la horizontal simplemente tomando el arcotangente de la pendiente: Ahora hace falta relacionar unos ángulos para conseguir la relación con x. Lo primero que observamos es que el CA tiene una inclinación de 10º con la horizontal y por lo tanto podemos dibujar una recta horizontal que pasa por E y saber que tiene 10º de diferencia con EA. Luego el triangulo que forman BC y el punto de corte entre FC y EB nos permite calcular que el tercer angulo es 70º y su angulo suplementario sera 110º. De esta forma se puede calcular el tercer angulo del triangulo CE y el punto de corte CF con BE, que es 40º. Así tenemos todo lo que necesitamos para calcular x:Se observa que nuestro angulo (que hemos calculado antes) – 10º es junto 40º y x suplementario, dicho de otra forma:  180º=40º+x+(ángulo-10º). Reagrupando se obtiene: 150º-ángulo=x. Dejando así: 

Lo cual según mi calculadora científica equivale a 30º. (Ten cuidado al hacer el calculo porque es probable que te de el arcotangente -60º pero tu sabes que significa 120º). Resulto de forma bruta y poco elegante. Vamos ahora a resolverlo de forma elegante, para ello vamos a hacer un paso muy interesante: vamos a dividir el angulo CBE en dos: añadiendo un punto más que llamaremos G, asi creamos un angulo CBG que tiene 20º:Ahora fijándonos en el triangulo BCG observamos dos cosas, la primera es que el angulo CGB tiene que medir 80º, y la segunda es que como tiene dos ángulos iguales el triangulo BCG tiene que ser isósceles, y por esto último la recta BC tiene que ser igual a BG. Y también podemos observar que el angulo BGE tiene que medir 100º ya que es suplementario de 80º: Ahora si nos fijamos en el triangulo BGE podemos ver que el angulo BEG tiene que medir 40º, y de la misma forma que el triangulo BGC, nos damos cuenta que es un triangulo isósceles y que BG tiene que ser igual a EG:  Ahora si nos fijamos en BCF podemos claramente deducir que el angulo BFC medirá 50º. Y así otra vez obtenemos un triangulo isósceles y por lo tanto el lado BF tiene que ser igual al BC:

Ahora vamos a dibujar un nuevo triangulo BFG, este triangulo tiene dos lados iguales unidos por un angulo de 60º por lo tanto en este caso estamos hablando de un triangulo equilátero cuyos ángulos vales 60º y todos sus lados miden lo mismo:

Ahora simplemente reescribimos el angulo 100º grados como uno de 40 y 60º: Ahora después de hacer todo esto estamos casi acabando ahora solo nos tenemos que fijar en el triangulo FEG: Podemos ver que los lados GF y GE son iguales y por tanto es un triangulo isósceles. Así podemos saber que el angulo GFE será la mitad de 180º-40º, esto es: 70º. Y al ser un triangulo isósceles los ángulos GFE y FEG tienen que medir lo mismo (70º). Ahora simplemente restamos 70º-40º y se obtiene finalmente que x es 30º, como habíamos calculado anteriormente de forma “bruta” ahora lo hemos deducido de una forma tan elegante que los antiguos Griegos estarían orgullosos.

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